Оказывается, что длины сторон четырех частей, составляющих фигуры
(рис. 156), являются членами ряда Фибоначчи, т. е. ряда чисел,
начинающегося с двух единиц: 1,1, каждое из которых, начиная с третьего,
есть сумма двух предшествующих. Т. е. ряд имеет такой вид: 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13,21,34...
Рис 156
Расположение частей, на которые был разрезан квадрат, в виде
прямоугольника иллюстрирует одно из свойств ряда Фибоначчи, а именно
следующее: при возведении в квадрат любого члена этого ряда получается
произведение двух соседних членов ряда плюр или минус единица. В нашем
примере (рис. 157) сторона квадрата равна 8, а площадь равна 64.
Восьмерка в ряду Фибоначчи расположена между 5 и 1
3. Так как числа 5 и 13 становятся длинами сторон прямоугольника, то
площадь его должна быть равной 65, что дает прирост площади в одну
единицу.
Благодаря этому свойству ряда можно построить квадрат, стороной которого
является любое число Фибоначчи, большее единицы, а затем разрезать его в
соответствии с двумя предшествующими числами этого ряда.
Если, например, взять квадрат в 13 х 13 единиц, то три его стороны
следует разделить на отрезки длиной 5 и 8 единиц, а затем разрезать
(рис. 158). Площадь этого квадрата равна 169 квадратным единицам.
Стороны прямоугольника, образованного частями квадратов, будут 21 и 8,
что дает площадь 168 квадратных единиц. Здесь благодаря перекрыванию
частей вдоль диагонали одна квадратная единица не прибавляется, а
теряется.
Рис 157
Рис 158
Если взять квадрат со стороной 5, то тоже произойдет потеря одной
квадратной единицы. Можно сформулировать и общее правило: приняв за
сторону квадрата какое-нибудь число из "первой" под последовательности
(3, 8,...) и составив из частей этого квадрата прямоугольник, мы получим
вдоль его диагонали просвет и как следствие прирост площади на одну
единицу. Взяв же за сторону квадрата какое-нибудь число из "второй" под
последовательности (2, 5, 13,...), мы получим вдоль диагонали
прямоугольника перекрывание площадей и потерю одной квадратной единицы
площади.
Чем дальше мы продвигаемся по ряду чисел Фибоначчи, тем менее заметными
становятся перекрывания или просветы. И наоборот, чем ниже мы спускаемся
по ряду, тем они становятся более существенными. Можно построить
парадокс даже на квадрате со стороной в две единицы. Но тогда в
прямоугольнике 3x1 получается столь очевидное перекрывание, что эффект
парадокса полностью теряется.
Используя для парадокса другие ряды Фибоначчи, можно получить
бесчисленное множество вариантов. Так, например, квадраты, основанные на
ряде 2, 4, 6, 10, 16, 26 и т. д., приводят к потерям или приросту
площади в 4 квадратные единицы. Величину этих потерь или приростов можно
узнать, вычисляя для данного ряда разности между квадратом любого его
члена и произведением двух его соседних членов слева и справа. Ряд 3, 4,
7, 11, 18, 29 и т. д. дает прирост или потерю в пять квадратных единиц.
