При суммировании площадей частей перестановка треугольников В и С в
верхней части рис. 160 приводит к кажущейся потере одной квадратной
единицы.
Как читатель заметит, это происходит за счет площадей заштрихованных
частей: на верхней части рисунка имеется 15 заштрихованных квадратиков,
на нижней - 16. Заменяя заштрихованные куски двумя покрывающими их
фигурами специального вида, мы приходим к новой, поразительной форме
парадокса. Теперь перед нами прямоугольник, который можно разрезать на 5
частей, а затем, меняя их местами, составить новый прямоугольник,
причем, несмотря на то, что его линейные размеры остаются прежними,
внутри появляется отверстие площадью в одну квадратную единицу (рис.
161).
Возможность преобразования одной фигуры в другую тех же внешних
размеров, но с отверстием внутри периметра основана на следующем. Если
взять точку X точно в трех единицах от основания и в пяти единицах от
боковой стороны прямоугольника, то диагональ через нее проходить не
будет. Однако ломаная, соединяющая точку X с противоположными вершинами
прямоугольника, так мало отклонится от диагонали, что это .будет почти
незаметно. После перестановки треугольников В и С на нижней половине
рисунка части фигуры будут слегка перекрываться вдоль диагонали.
Рис 160
Рис 161
Рис 162
С другой стороны, если в верхней части рисунка рассматривать линию,
соединяющую противоположные вершины прямоугольника как точно проведенную
диагональ, то линия X будет чуть длиннее трех единиц. И как следствие
этого второй прямоугольник будет несколько выше, чем кажется. В первом
случае недостающую единицу площади можно считать распределенной с угла
на угол и образующей перекрывание вдоль диагоналей. Во втором случае
недостающий квадратик распределен по ширине прямоугольника. Как мы уже
знаем из предыдущего, все парадоксы такого рода можно отнести к одному
из этих двух вариантов построения. В обоих случаях неточности фигур
настолько незначительны, что они оказываются совершенно незаметными.
Наиболее изящной формой этого парадокса являются квадраты, которые после
перераспределения частей и образования отверстия остаются квадратами.
Такие квадраты известны в бесчисленных вариантах и с отверстиями в любое
количество квадратных единиц. Некоторые, наиболее интересные из них
изображены на рис. 162.
Можно указать на простую формулу, связывающую размер отверстия с
пропорциями большого треугольника. Три размера, о которых пойдет речь,
мы обозначим через А, В и С (рис. 163). Площадь отверстия в квадратных
единицах равна разности между произведением А на С и ближайшим к нему
кратным размера В. Так, в последнем примере произведение А и С равно 25.
Ближайшее кратное размера В к 25 есть 24, поэтому отверстие получается в
одну квадратную единицу. Это правило действует независимо от того,
проведена ли настоящая диагональ или же точка X на рис. 164 нанесена
аккуратно на пересечении линий квадратной сетки. Если диагональ, как это
и должно быть, вычерчивается как строго прямая линия или если точка X
берется точно в одной из вершин квадратной сетки, то никакого парадокса
не получается. В этих случаях формула дает отверстие размером в нуль
квадратных единиц, обозначая этим, конечно, что отверстия нет вообще.
